Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik

I Grundlagen der Analysis.- 1 Grundbegriffe.- 1.1 Arithmetische Eigenschaften der reellen Zahlen.- 1.2 Das Prinzip der vollständigen Induktion.- 1.3 Das Intervallschachtelungsprinzip.- 1.4 Reelle Zahlenmengen.- 1.5 Fakultät und Binomialkoeffizient. Binomischer Lehrsatz.- 1.6 Reelle Funktionen.- 1.7 Übungsbeispiele.- 2 Zahlenfolgen.- 2.1 Der Folgenbegriff.- 2.2 Häufungswerte und Häufungsgrenzen.- 2.3 Der Grenzwertbegriff.- 2.4 Teilfolgen.- 2.5 Das Rechnen mit Grenzwerten.- 2.6 Das Prinzip der Vergleichsfolgen.- 2.7 Monotone Folgen.- 2.8 Die Eulersche Zahl.- 2.9 Das Cauchysche Konvergenzkriterium.- 2.10 Übungsbeispiele.- 3 Elementare transzendente Funktionen.- 3.1 Die allgemeine Potenzfunktion.- 3.2 Die allgemeine Exponentialfunktion.- 3.3 Der allgemeine Logarithmus.- 3.4 Natürliche Exponentialfunktion und natürlicher Logarithmus.- 3.5 Die trigonometrischen Funktionen.- 3.6 Die Arcusfunktionen.- 3.7 Die Hyperbelfunktionen und Areafunktionen.- 3.8 Übungsbeispiele.- 4 Die komplexen Zahlen.- 4.1 Die Gaußsche Zahlenebene.- 4.2 Die Addition komplexer Zahlen.- 4.3 Die Multiplikation komplexer Zahlen.- 4.4 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen.- 4.5 Algebraische Gleichungen.- 4.6 Komplexe Funktionen.- 4.7 Die komplexe Zeigerrechnung in der Wechselstromtechnik.- 4.8 Übungsbeispiele.- 5 Grenzwert und Stetigkeit.- 5.1 Der Begriff des Grenzwertes.- 5.2 Stetige Funktionen.- 5.3 Einseitige Grenzwerte und einseitige Stetigkeit.- 5.4 Grenzwerte im Unendlichen und uneigentliche Grenzwerte.- 5.5 Auf abgeschlossenen Intervallen stetige Funktionen.- 5.6 Klassifikation der Unstetigkeitsstellen.- 5.7 Komplexwertige Funktionen.- 5.8 Übungsbeispiele.- II Differentialrechnung.- 6 Differentialquotient und Differential.- 6.1 Ableitung und Differentialquotient.- 6.2 Der Differentialquotient in Physik und Mechanik.- 6.3 Allgemeine Regeln der Differentiation.- 6.4 Ableitung der Umkehrfunktion.- 6.5 Die Kettenregel.- 6.6 Einseitige und uneigentliche Ableitungen.- 6.7 Differentiation komplexwertiger Funktionen.- 6.8 Das Differential.- 6.9 Übungsbeispiele.- 7 Der Mittelwertsatz und die Taylorsche Formel.- 7.1 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 7.2 Höhere Ableitungen.- 7.3 Die Taylorsche Formel.- 7.4 Grenzwerte unbestimmter Formen.- 7.5 Differentiale höherer Ordnung.- 7.6 Übungsbeispiele.- 8 Untersuchung von Funktionen mittels der Differentialrechnung.- 8.1 Extremwerte.- 8.2 Wendepunkte.- 8.3 Asymptoten.- 8.4 Beispiele zur Kurvendiskussion.- 8.5 Übungsbeispiele.- 9 Numerische Verfahren zur Berechnung von Nullstellen.- 9.1 Allgemeines über die Numerik der Nullstellenberechnung.- 9.2 Die Regula falsi.- 9.3 Das Newton-Verfahren.- 9.4 Die Fixpunktmethode.- 9.5 Übungsbeispiele.- III Integralrechnung.- 10 Das unbestimmte Integral.- 10.1 Stammfunktionen.- 10.2 Die Grundintegrale.- 10.3 Die Methode der Variablensubstitution.- 10.4 Die Methode der partiellen Integration.- 10.5 Die Integration rationaler Funktionen.- 10.6 Systematische Integration einiger Funktionenklassen.- 10.7 Bemerkungen zur unbestimmten Integration.- 10.8 Übungsbeispiele.- 11 Das bestimmte Integral.- 11.1 Die Definition des bestimmten Integrales.- 11.2 Die Existenz des Integrales stetiger Funktionen.- 11.3 Der Fundamentalsatz der Differential-und Integralrechnung.- 11.4 Erweiterung des bestimmten Integrals.- 11.5 Die Mittelwertsätze der Integralrechnung.- 11.6 Übungsbeispiele.- 12 Uneigentliche Integrale.- 12.1 Nochmalige Erweiterung des Integralbegriffs.- 12.2 Uneigentliche Integrale erster Art.- 12.3 Uneigentliche Integrale zweiter Art.- 12.4 Rechenregeln für uneigentliche Integrale.- 12.5 Hauptwerte uneigentlicher Integrale.- 12.6 Übungsbeispiele.- 13 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung in Geometrie, Mechanik und Physik.- 13.1 Der Flächeninhalt ebener Figuren.- 13.2 Bogenlänge und Bogendifferential.- 13.3 Inhalt einer Rotationsfläche. Volumen eines Rotationskörpers.- 13.4 Krümmung ebener Kurven.- 13.5 Anwendungen in der Physik.- 13.6 Übungsbeispiele.- 14 Numerische Integration.- 14.1 Allgemeines über numerische Integration.- 14.2 Die Trapezformel.- 14.3 Die Simpsonsche Formel.- 14.4 Übungsbeispiele.- IV Reihen.- 15 Reihen mit konstanten Gliedern.- 15.1 Der Begriff der Reihe.- 15.2 Absolute und bedingte Konvergenz.- 15.3 Das Vergleichsprinzip. Kriterien für die absolute Konvergenz.- 15.4 Multiplikation von Reihen.- 15.5 Reihen mit komplexen Gliedern.- 15.6 Übungsbeispiele.- 16 Folgen und Reihen von Funktionen.- 16.1 Vorbemerkungen.- 16.2 Die gleichmäßige Konvergenz.- 16.3 Stetigkeit der Summenfunktion.- 16.4 Gliedweise Integration.- 16.5 Gliedweise Differentiation.- 16.6 Übungsbeispiele.- 17 Potenzreihen.- 17.1 Der Konvergenzradius.- 17.2 Eigenschaften der Summenfunktion.- 17.3 Das Rechnen mit Potenzreihen.- 17.4 Die Taylorsche Reihe einer Funktion.- 17.5 Entwicklung der elementaren Funktionen.- 17.6 Beispiele für Reihenentwicklungen.- 17.7 Übungsbeispiele.- 18 Fouriersche Reihen.- 18.1 Periodische Funktionen. Harmonische Analyse.- 18.2 Die Fouriersche Reihe einer periodischen Funktion.- 18.3 Konvergenztheorie Fourierscher Reihen.- 18.4 Gliedweise Differentiation und Integration Fourierscher Reihen.- 18.5 Das Konvergenzverhalten in der Umgebung von Sprungstellen.- 18.6 Anwendungen in der Elektrotechnik.- 18.7 Trigonometrische Interpolation.- 18.8 Übungsbeispiele.- V Vektor- und Matrizenrechnung.- 19 Vektoren im euklidischen Raum.- 19.1 Punkte, Strecken und Vektoren.- 19.2 Addition von Vektoren und Multiplikation mit einer Zahl.- 19.3 Lineare Abhängigkeit.- 19.4 Betrag und inneres Produkt.- 19.5 Äußeres Produkt von Vektoren.- 19.6 Determinanten.- 19.7 Gerade und Ebene im Raum.- 19.8 Übungsbeispiele.- 20 Matrizenrechnung. Lineare Gleichungssysteme.- 20.1 Vektoren im n-dimensionalen Raum.- 20.2 Lineare Mannigfaltigkeiten.- 20.3 Lineare Transformationen.- 20.4 Matrizen.- 20.5 Determinanten.- 20.6 Die Determinante einer Matrix.- 20.7 Die Inversion von Matrizen.- 20.8 Der Rang einer Matrix.- 20.9 Lineare Gleichungssysteme.- 20.10 Das Gaußsche Eliminationsverfahren.- 20.11 Euklidische Geometrie im n-dimensionalen Raum.- 20.12 Orthogonale Transformationen. Die Transponierte einer Matrix.- 20.13 Vektoren mit komplexen Koordinaten.- 20.14 Übungsbeispiele.- 21 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen.- 21.1 Der Begriff des Eigenwertes und des Eigenvektors.- 21.2 Die Cayley-Hamiltonsche Gleichung.- 21.3 Eigenwerttheorie hermitescher und symmetrischer Matrizen.- 21.4 Quadratische Formen.- 21.5 Übungsbeispiele.- VI Differential- und Integralrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher.- 22 Funktionen in mehreren unabhängigen Veränderlichen.- 22.1 Der Funktionsbegriff in mehreren unabhängigen Veränderlichen.- 22.2 Grenzwert und Stetigkeit.- 22.3 Partielle Ableitungen.- 22.4 Übungsbeispiele.- 23 Differentiation von Funktionen in mehreren Veränderlichen.- 23.1 Ableitung und Differential.- 23.2 Implizite Funktionen. Differentiation der impliziten Funktionen.- 23.3 Differentiation der Umkehrfunktion.- 23.4 Punkt- und Koordinatentransformationen.- 23.5 Übungsbeispiele.- 24 Fortführung der Differentialrechnung.- 24.1 Die Taylorsche Formel und der Mittelwertsatz.- 24.2 Extremwerte.- 24.3 Extremwerte unter Nebenbedingungen.- 24.4 Das Newtonsche Verfahren.- 24.5 Übungsbeispiele.- 25 Integration von Funktionen in mehreren Veränderlichen.- 25.1 Integrale als Funktionen eines Parameters.- 25.2 Bereichsintegrale.- 25.3 Der Mittelwertsatz. Bereichsdifferentiation.- 25.4 Transformation der Bereichsintegrale.- 25.5 Uneigentliche Parameterintegrale.- 25.6 Uneigentliche Bereichsintegrale.- 25.7 Anwendungen in Geometrie und Physik.- 25.8 Übungsbeispiele.- VII Integraltransformationen und verallgemeinerte Funktionen.- 26 Lineare Funktionenräume und lineare Integraloperatoren.- 26.1 Lineare Operatoren.- 26.2 Orthogonale Funktionensysteme und Orthogonalreihen.- 26.3 Symmetrische und hermitesche Integraloperatoren.- 26.4 Übungsbeispiele.- 27 Die Fourier- und Laplace-Transformation.- 27.1 Spektrale Zerlegung periodischer und aperiodischer Vorgänge.- 27.2 Das Fouriersche Integral theorem.- 27.3 Die Fourier-Transformation.- 27.4 Die Faltung.- 27.5 Sprungfunktion und Stoßfunktion.- 27.6 Die Laplace-Transformation.- 27.7 Rechenregeln für die Laplace-Transformation.- 27.8 Die Faltung im Zeitbereich der Laplace-Transformation.- 27.9 Rücktransformation echt gebrochener rationaler Funktionen.- 27.10 Asymptotische Eigenschaften der Bildfunktion.- 27.11 Faltungsgleichungen.- 27.12 Ergänzungen.- 27.13 Übungsbeispiele.- 28 Verallgemeinerte Funktionen.- 28.1 Der Begriff der verallgemeinerten Funktion.- 28.2 Die Deltafunktion.- 28.3 Differentiation verallgemeinerter Funktionen.- 28.4 Fourier-Transformation verallgemeinerter Funktionen.- 28.5 Übungsbeispiele.- VIII Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 29 Lösungsverhältnisse bei gewöhnlichen Differentialgleichungen.- 29.1 Ausgleichsvorgänge.- 29.2 Das allgemeine Integral.- 29.3 Das Verfahren der sukzessiven Approximationen.- 29.4 Ergänzungen und Bemerkungen.- 29.5 Übungsbeispiele.- 30 Allgemeine Theorie linearer Differentialgleichungen.- 30.1 Der lineare Differentialoperator.- 30.2 Die homogene Gleichung.- 30.3 Die inhomogene Gleichung.- 30.4 Systeme linearer Differentialgleichungen.- 30.5 Übungsbeispiele.- 31 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 31.1 Der lineare Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten.- 31.2 Die Gleichung zweiter Ordnung.- 31.3 Die inhomogene Gleichung. Der eingeschwungene Zustand.- 31.4 Resonanz.- 31.5 Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 31.6 Transformation linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 31.7 Übertragungsfunktion, Übergangsfunktion, Frequenzgang.- 31.8 Ergänzungen.- 31.9 Übungsbeispiele.- 32 Nichtlineare Differentialgleichungen.- 32.1 Die explizite Differentialgleichung erster Ordnung.- 32.2 Transformation nichtlinearer Differentialgleichungen.- 32.3 Numerische Integration.- 32.4 Der Phasenraum.- 32.5 Stabilität.- 32.6 Übungsbeispiele.- IX Vektoranalysis und partielle Differentialgleichungen.- 33 Vektorfelder. Differentiation und Integration der Feldgrößen.- 33.1 Der Feldbegriff.- 33.2 Gradient, Divergenz und Rotation.- 33.3 Kurvenintegrale.- 33.4 Flächenintegrale.- 33.5 Übungsbeispiele.- 34 Die Integralsätze von Stokes und Gauß.- 34.1 Der Integralsatz von Stokes.- 34.2 Der Integralsatz von Gauß.- 34.3 Die Integralsätze in der Ebene.- 34.4 Sprungflächenoperatoren.- 34.5 Die Integralformeln von Green.- 34.6 Übungsbeispiele.- 35 Elemente der Feldtheorie.- 35.1 Allgemeine Eigenschaften wirbelfreier Felder.- 35.2 Dipolfelder.- 35.3 Wirbelfreie Doppelfelder.- 35.4 Allgemeine Eigenschaften quellenfreier Felder.- 35.5 Magnetische Dipolfelder.- 35.6 Quellenfreie Doppelfelder.- 35.7 Allgemeine Felder.- 35.8 Übungsbeispiele.- 36 Partielle Differentialgleichungen.- 36.1 Lineare partielle Differentialgleichungen.- 36.2 Randwertaufgaben für gewöhnliche Differentialgleichungen.- 36.3 Randwertaufgaben für partielle Differentialgleichungen.- 36.4 Anfangsrandwertaufgaben.- 36.5 Ergänzungen und Bemerkungen.- 36.6 Übungsbeispiele.- X Funktionentheorie.- 37 Analytische Funktionen.- 37.1 Der Begriff der analytischen Funktion.- 37.2 Integration komplexer Funktionen.- 37.3 Die Cauchysche Integralformel.- 37.4 Isolierte singulare Stellen.- 37.5 Reihen komplexer Funktionen.- 37.6 Reihenentwicklung analytischer Funktionen.- 37.7 Analytische Fortsetzung.- 37.8 Übungsbeispiele.- 38 Anwendungen.- 38.1 Der Residuensatz.- 38.2 Umkehrung der Laplace-Transformation.- 38.3 Die L-Transformation.- 38.4 Konforme Abbildung und ebene Felder.- 38.5 Theorie und Praxis der konformen Abbildung.- 38.6 Übungsbeispiele.- Sachwortverzeichnis.