Oswald Giering
Vorlesungen über höhere Geometrie
Mit zahlr. Aufgaben, Fig. u. Tab.
Paperback Duits 1982 9783528084929
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Samenvatting
VI zahlreiche Eigenschaften der Cayley/Klein-Raume bereitgestellt. AbschlieBend erfolgt im Rahmen der projektiven Standardmodelle eine Einflihrung in die Kurven- und Hyperflachentheorie der Cay ley/Klein-Raume (Kap. 21,22) und ein kurzgefaBtes Kapitel liber die differentialgeometrische Literatur mit einem Abschnitt liber Anwendungen der Cayley/Klein-Raume (Kap. 23). Zahlreiche Themen, die in den gebotenen Rahmen fallen, konnten nicht oder nur am Rande betrachtet werden. Dazu gehoren die af finen, axialen, biaxialen und symplektischen Raume, die zugeho rigen Geometrien sowie die Entwicklung und Verwendung von Spe zialkalklilen, etwa des Quaternionenkalklils. Auch ein detaillier tes Studium einzelner Cayley/Klein-Geometrien muBte unterbleiben. Hier konnen die Freunde spezieller Cayley/Klein-Geometrien nicht alle Erwartungen erflillt finden. Bemerkungen und die Abschnitte Blick in die Literatur versuchen jedoch, einerseits dem interes sierten Leser weiterzuhelfen und andererseits den Gebrauch des Literaturverzeichnisses zu erleichtern. Es enthalt vorbereitende, erganzende und weiterflihrende Literatur sowie Literatur, die in Teilaspekten mit der Stoffauswahl zusammenhangt. Es zeigt viel faltige Arbeitsrichtungen auf, gibt Anregungen und ladt zur Ver tiefung ein. Soweit es der Umfang des Buches erlaubte, wurden Aufgaben zur Einlibung des Stoffes eingefligt. Die Figuren sindflir alle Leser bestimmt, denen sie nlitzen. Jlingere Studenten, dieih re Raumanschauung und die Fahigkeit zur Interpretation von Figu ren noch nicht hinreichend entwickelt haben, mogen Figuren zu nachst nicht als Unterstlitzung des Textesempfinden. EinigeObun gen im Anschauungsraum werden jedoch genligen, umFiguren schatzen zu lernen. Der Stoff ist in 23 Kapitel gegliedert. Jedes Kapitel besteht aus Abschnitten (A,B, . . . ), einzelne Abschnitte bestehen aus - terabschnitten (1,2, . . . ).
Specificaties
ISBN13:9783528084929
Taal:Duits
Bindwijze:paperback
Aantal pagina's:614
Uitgever:Vieweg+Teubner Verlag
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Inhoudsopgave
1. Projektiver Raum Über Einem Vektorraum.- 1A. Begriff des projektiven Raumes.- 1B. k-Ebenen.- 1C. Dimensionsformel und Folgerungen.- 1D. Projektive Koordinaten.- 1E. Koordinatendarstellungen der ?-Ebenen.- 2. Projektive Abbildungen, Kollineationen.- 2A. Begriff der projektiven Abbildung.- 2B. Eigenschaften projektiver Abbildungen.- 2C. Koordinatendarstellungen projektiver Abbildungen.- 2D. Projektivitäten, projektive Gruppe.- 2E. Kollineationen.- 3. Dualitätsprinzip, Korrelationen.- 3A. Dualitätsprinzip der projektiven Räume.- 3B. Koordinatendarstellungen des Dualitätsprinzips.- 3C. Korrelationen.- 4. Quadriken.- 4A. Begriff der Quadrik.- 4B. Koordinatendarstellungen der Quadriken.- 4C. Klassifikation der Quadriken, Normalformen, Quadrikinvarianten.- 4D. k-Ebenen und Quadriken.- 4E. Polarentheorie der Quadriken.- 4F. Weitere Quadrikeneigenschaften.- 4G. Quadriken mit Außen- und Innengebiet.- 4H. Dualisierung der Quadriken.- 5. Geometrie als Invariantentheorie einer Gruppe.- 5A. Geometrie-Modelle und ihre Transformationsgruppen.- 5B. Absolutfigur, Schauplatz, Ordnungsprinzip.- 5C. Übertragungen, Geometrien.- 6. Cayley/Klein-Räume.- 6A. Begriff des Cayley/Klein-Raumes.- 6B. Koordinatendarstellungen der Absolutfiguren.- 6C. Entartete und nichtentartete Cayley/Klein-Räume.- 6D. In k-Ebenen induzierte Cayley/Klein-Räume.- 6E. Dualisierung der Absolutfiguren.- 6F. Dreidimensionale Cayley/Klein-Räume.- 6G. Cayley/Klein-Ebenen.- 6H. Polsimplexe der Absolutfiguren.- 7. Ähnlichkeiten und Bewegungen auf Cayley/Klein-Räumen.- 7A. F-Projektivitäten, Ähnlichkeits- und Bewegungsinvarianten.- 7B. Ähnlichkeiten und Bewegungen mit Fixpunkten.- 7C. Ähnlichkeits- und Bewegungsgruppen.- 7D. Projektivspiegelungen, Streckungen.- 7E. Ergänzungen.- 1.Hyperbolische Räume.- 2.Semieuklidische Räume.- 8. Abstands- und Winkelmetriken in Cayley/Klein-Räumen.- 8A. Geraden und Absolutfiguren.- 8B. Abstands- und Winkelmetriken.- 8C. Ergänzungen.- 1.Hyperbolische Räume.- 2.Elliptische Räume.- 3.Euklidische und pseudoeuklidische Räume.- 4.Isotrope Räume.- 8D. Strecken und Sektoren.- 9. k-Ebenen in Cayley/Klein-Räumen.- 9A. k-Ebenen und Absolutebenen.- 9B. Totalpolare einer regulären k-Ebene.- 9C. Koordinatendarstellungen der Totalpolaren einer regulären k-Ebene.- 9D. Orthogonalität in Cayley/Klein-Räumen.- 9E. Ergänzungen.- 1.Hyperbolische Räume.- 2.Elliptische Räume.- 3.Quasihyperbolische und quasielliptische Räume.- 4.Euklidische und pseudoeuklidische Räume.- 10. Projektive Nichtstandardmodelle von Cayley/Klein-Räumen.- 10A. Bündelmodelle.- 10B. Gegenpunktmodelle auf Ovalquadriken, duale Modelle.- 10C. Geraden-Modell der hyperbolischen Ebene.- 10D. Geraden-Modell des hyperbolischen Raumes
$${\text {P}}^5_{|3}$$.- 10E. Matrizen-Modell des hyperbolischen Raumes
$${\text {P}}^3_{|2}$$.- 11. Kinematische Modelle von Cayley/Klein-Räumen.- 11A. Kinematisches Modell des elliptischen Raumes
$${\text {P}}^3_{|0}$$.- 11B. Kinematisches Modell des hyperbolischen Raumes
$${\text {P}}^7_{|4}$$.- 11C. Kinematisches Modell des quasielliptischen Raumes
$${\text {P}}^3_{2|00}$$.- 12. Clifford-Parallelität in elliptischen Räumen.- 12A. Historische Motivation.- 12B. Vorbereitungen.- 12C. Erzeugendenscharen der Absolutquadrik.- 12D. (1,q-1)-Reguli, Clifford-parallele (q-l)-Ebenen.- 12E. Clifford-Reguli.- 12F. Zur Transitivität der Clifford-Parallelität.- 13. Lorentz-Raum und spezielle Relativitätstheorie.- 13A. Galilei-Transformationen und Galilei-Raum
$${\text {P}}^4_{11|000}$$.- 13B. Lichtausbreitung.- 13C. Minkowski-Welt, Lorentz-Transformationen.- 13D. Minkowski-Welt und Lorentz-Raum
$${\text {P}}^4_{1|01}$$.- 13E. Spezielle Lorentz-Transformationen.- 14. Cayley/Klein-Geometrien in nichtentarteten Cayley/Klein-Räumen.- 14A. Vorbemerkungen über Cayley/Klein-Geometrien.- 14B. Hyperbolische Geometrie.- 1.Grundbegriffe.- 2.Parallelkegel.- 3.Fundamentalflächen.- 4.Kongruenzsätze.- 5.Trigonometrie.- 6.Blick in die Literatur.- 14C. Möbius-Geometrie.- 1.Grundbegriffe.- 2.Orthogonalität.- 3.Möbius-Bündel.- 4.Blick in die Literatur.- 14D. Elliptische Geometrie.- 1.Grundbegriffe.- 2.Orthogonalität.- 3.Dualitätsprinzip.- 4.Blick in die Literatur.- 14E. Projektive Liniengeometrie, Plücker-Geometrie.- 1.Grundbegriffe.- 2.Blick in die Literatur.- 14F. Lie-Geometrie.- 1.Grundbegriffe.- 2.Blick in die Literatur.- 15. Cayley/Klein-Geometrien in entarteten Cayley/Klein-Räumen.- 15A. Laguerre-Geometrien.- 1.Grundbegriffe.- 2.Blick in die Literatur.- 15B. Quasielliptische Geometrien.- 1.Grundbegriffe.- 2.Blick in die Literatur.- 15C. Euklidische und pseudoeuklidische Geometrien, isotrope Geometrien, Galilei-und Flaggen-Geometrien.- 1.Grundbegriffe.- 2.Blick in die Literatur.- 16. Beziehungen zwischen Cayley/Klein-Geometrien.- 16A. Bewegungsgruppe
$${\text {B}}^n_{|{q_0}-1}$$
als Faktorgruppe der Bewegungsgruppe
$${\text {B}}^{n+1}_{|{q_0}}$$.- 16B. Bewegungsgruppe
$${\text {B}}^n_{|{q_0}}$$
als Faktorgruppe der Bewegungsgruppe
$${\text {B}}^{n+1}_{|{q_0}}$$.- 16C. Bewegungsgruppe
$${\text {B}}^n_{|{q_0}-10}$$
als Untergruppe der Bewe- gungsgruppe
$${\text {B}}^{n+1}_{|{q_0}}$$.- 17. Nichtstandardmodelle der Cayley/Klein-Geometrien.- 17A. Projektive NichtStandardmodelle.- 1. Involutionen-Modell der ebenen hyperbolischen Geometrie.- 2.Gegenpunktmodell der Möbius-Geometrie.- 17B. Modelle von Cayley/Klein-Geometrien in Cayley/Klein-Räumen.- 1.Modelle der hyperbolischen Geometrie im euklidischen Raum.- 2.Modelle der Möbius-Geometrie im euklidischen Raum.- 3.Modelle der elliptischen Geometrie im euklidischen Raum.- 4.Modelle der Laguerre-Geometrien im euklidischen Raum.- 5.Modelle der quasielliptischen Geometrien im euklidischen Raum.- 6.Modelle der Galilei-Geometrien im zugeordneten pseudoeuklidischen Raum.- 18. Stereographische Projektion.- 18A. Begriff der stereographischen Projektion.- 18B. Koordinatendarstellungen.- 18C. Stereographische Projektion der Sphären.- 18D. Ergänzungen im P2 und P3.- 19. Inversion.- 19A. Begriff der Inversion, Koordinatendarstellung.- 19B. Eigenschaften der Inversion.- 19C. Kugelbündel.- 20. Konforme Nichtstandardmodelle.- 20A. Konforme Modelle der hyperbolischen Geometrie.- 1.Poincaré-Modell.- 2.Varianten des Poincaré-Modells.- 3.Anwendungen.- 20B. Konformes Modell der Möbius-Geometrie.- 1.Grundbegriffe.- 2.Orthogonalität.- 3.Anwendung.- 20C. Konformes Modell der elliptischen Geometrie.- 20D. Konformes Modell der Lie-Geometrie.- 20E. Konforme Modelle der Laguerre-Geometrien.- 21. Lokale Kurventheorie in Cayley/Klein-Räumen.- 21A. Kurvenbegriff, Schmieg-k-Ebenen.- 21B. Begleitsimplex der Hauptkurven.- 21C. Invariante Parametrisierung der Hauptkurven.- 21D. Ableitungsgleichungen.- 21E. Ergänzungen.- 1.Hyperbolische Räume.- 2.Elliptische Räume.- 3.Quasihyperbolische und quasielliptische Räume.- 4.Euklidische und pseudoeuklidische Räume.- 5.Flaggenräume.- 22. Lokale Hyperflächentheorie in Cayley/Klein-Räumen.- 22A. Hyperflächenbegriff.- 22B. Flächenkurven, Tangentenhyperebenen.- 22C. Hauptflächen.- 22D. Abstandsmetrik der Hauptflächen, erste Grundformen.- 22E. Begleitsimplex der Hauptflächen.- 22F. Ergänzungen.- 1.Hyperbolische Räume.- 2.Elliptische Räume.- 3.Quasielliptische Räume.- 4.Euklidische und pseudoeuklidische Räume.- 5.Isotrope Räume.- 6.Flaggenräume.- 22G. Ableitungsgleichungen der Hauptflächen.- 22H. Zweite Grundform der Hauptflächen.- 22I. Winkelmetrik der Hauptflächen, dritte Grundformen.- 22J. Oberfläche einer Hauptfläche, Betrag der GaußKrümmung.- 22K. Ergänzungen.- 1.Nichtentartete Cayley/Klein-Räume.- 2.Euklidische Räume.- 22L. Normalkrümmung, Meusnier-Formeln.- 23. Blick in die differentialgeometrische Literatur.- 23A. Nichtentartete Cayley/Klein-Räume.- 23B. Einfach entartete Cayley/Klein-Räume.- 23C. Mehrfach entartete Cayley/Klein-Räume.- 23D. Anwendungen der Cayley/Klein-Räume.
$${\text {P}}^5_{|3}$$.- 10E. Matrizen-Modell des hyperbolischen Raumes
$${\text {P}}^3_{|2}$$.- 11. Kinematische Modelle von Cayley/Klein-Räumen.- 11A. Kinematisches Modell des elliptischen Raumes
$${\text {P}}^3_{|0}$$.- 11B. Kinematisches Modell des hyperbolischen Raumes
$${\text {P}}^7_{|4}$$.- 11C. Kinematisches Modell des quasielliptischen Raumes
$${\text {P}}^3_{2|00}$$.- 12. Clifford-Parallelität in elliptischen Räumen.- 12A. Historische Motivation.- 12B. Vorbereitungen.- 12C. Erzeugendenscharen der Absolutquadrik.- 12D. (1,q-1)-Reguli, Clifford-parallele (q-l)-Ebenen.- 12E. Clifford-Reguli.- 12F. Zur Transitivität der Clifford-Parallelität.- 13. Lorentz-Raum und spezielle Relativitätstheorie.- 13A. Galilei-Transformationen und Galilei-Raum
$${\text {P}}^4_{11|000}$$.- 13B. Lichtausbreitung.- 13C. Minkowski-Welt, Lorentz-Transformationen.- 13D. Minkowski-Welt und Lorentz-Raum
$${\text {P}}^4_{1|01}$$.- 13E. Spezielle Lorentz-Transformationen.- 14. Cayley/Klein-Geometrien in nichtentarteten Cayley/Klein-Räumen.- 14A. Vorbemerkungen über Cayley/Klein-Geometrien.- 14B. Hyperbolische Geometrie.- 1.Grundbegriffe.- 2.Parallelkegel.- 3.Fundamentalflächen.- 4.Kongruenzsätze.- 5.Trigonometrie.- 6.Blick in die Literatur.- 14C. Möbius-Geometrie.- 1.Grundbegriffe.- 2.Orthogonalität.- 3.Möbius-Bündel.- 4.Blick in die Literatur.- 14D. Elliptische Geometrie.- 1.Grundbegriffe.- 2.Orthogonalität.- 3.Dualitätsprinzip.- 4.Blick in die Literatur.- 14E. Projektive Liniengeometrie, Plücker-Geometrie.- 1.Grundbegriffe.- 2.Blick in die Literatur.- 14F. Lie-Geometrie.- 1.Grundbegriffe.- 2.Blick in die Literatur.- 15. Cayley/Klein-Geometrien in entarteten Cayley/Klein-Räumen.- 15A. Laguerre-Geometrien.- 1.Grundbegriffe.- 2.Blick in die Literatur.- 15B. Quasielliptische Geometrien.- 1.Grundbegriffe.- 2.Blick in die Literatur.- 15C. Euklidische und pseudoeuklidische Geometrien, isotrope Geometrien, Galilei-und Flaggen-Geometrien.- 1.Grundbegriffe.- 2.Blick in die Literatur.- 16. Beziehungen zwischen Cayley/Klein-Geometrien.- 16A. Bewegungsgruppe
$${\text {B}}^n_{|{q_0}-1}$$
als Faktorgruppe der Bewegungsgruppe
$${\text {B}}^{n+1}_{|{q_0}}$$.- 16B. Bewegungsgruppe
$${\text {B}}^n_{|{q_0}}$$
als Faktorgruppe der Bewegungsgruppe
$${\text {B}}^{n+1}_{|{q_0}}$$.- 16C. Bewegungsgruppe
$${\text {B}}^n_{|{q_0}-10}$$
als Untergruppe der Bewe- gungsgruppe
$${\text {B}}^{n+1}_{|{q_0}}$$.- 17. Nichtstandardmodelle der Cayley/Klein-Geometrien.- 17A. Projektive NichtStandardmodelle.- 1. Involutionen-Modell der ebenen hyperbolischen Geometrie.- 2.Gegenpunktmodell der Möbius-Geometrie.- 17B. Modelle von Cayley/Klein-Geometrien in Cayley/Klein-Räumen.- 1.Modelle der hyperbolischen Geometrie im euklidischen Raum.- 2.Modelle der Möbius-Geometrie im euklidischen Raum.- 3.Modelle der elliptischen Geometrie im euklidischen Raum.- 4.Modelle der Laguerre-Geometrien im euklidischen Raum.- 5.Modelle der quasielliptischen Geometrien im euklidischen Raum.- 6.Modelle der Galilei-Geometrien im zugeordneten pseudoeuklidischen Raum.- 18. Stereographische Projektion.- 18A. Begriff der stereographischen Projektion.- 18B. Koordinatendarstellungen.- 18C. Stereographische Projektion der Sphären.- 18D. Ergänzungen im P2 und P3.- 19. Inversion.- 19A. Begriff der Inversion, Koordinatendarstellung.- 19B. Eigenschaften der Inversion.- 19C. Kugelbündel.- 20. Konforme Nichtstandardmodelle.- 20A. Konforme Modelle der hyperbolischen Geometrie.- 1.Poincaré-Modell.- 2.Varianten des Poincaré-Modells.- 3.Anwendungen.- 20B. Konformes Modell der Möbius-Geometrie.- 1.Grundbegriffe.- 2.Orthogonalität.- 3.Anwendung.- 20C. Konformes Modell der elliptischen Geometrie.- 20D. Konformes Modell der Lie-Geometrie.- 20E. Konforme Modelle der Laguerre-Geometrien.- 21. Lokale Kurventheorie in Cayley/Klein-Räumen.- 21A. Kurvenbegriff, Schmieg-k-Ebenen.- 21B. Begleitsimplex der Hauptkurven.- 21C. Invariante Parametrisierung der Hauptkurven.- 21D. Ableitungsgleichungen.- 21E. Ergänzungen.- 1.Hyperbolische Räume.- 2.Elliptische Räume.- 3.Quasihyperbolische und quasielliptische Räume.- 4.Euklidische und pseudoeuklidische Räume.- 5.Flaggenräume.- 22. Lokale Hyperflächentheorie in Cayley/Klein-Räumen.- 22A. Hyperflächenbegriff.- 22B. Flächenkurven, Tangentenhyperebenen.- 22C. Hauptflächen.- 22D. Abstandsmetrik der Hauptflächen, erste Grundformen.- 22E. Begleitsimplex der Hauptflächen.- 22F. Ergänzungen.- 1.Hyperbolische Räume.- 2.Elliptische Räume.- 3.Quasielliptische Räume.- 4.Euklidische und pseudoeuklidische Räume.- 5.Isotrope Räume.- 6.Flaggenräume.- 22G. Ableitungsgleichungen der Hauptflächen.- 22H. Zweite Grundform der Hauptflächen.- 22I. Winkelmetrik der Hauptflächen, dritte Grundformen.- 22J. Oberfläche einer Hauptfläche, Betrag der GaußKrümmung.- 22K. Ergänzungen.- 1.Nichtentartete Cayley/Klein-Räume.- 2.Euklidische Räume.- 22L. Normalkrümmung, Meusnier-Formeln.- 23. Blick in die differentialgeometrische Literatur.- 23A. Nichtentartete Cayley/Klein-Räume.- 23B. Einfach entartete Cayley/Klein-Räume.- 23C. Mehrfach entartete Cayley/Klein-Räume.- 23D. Anwendungen der Cayley/Klein-Räume.
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